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反常积分拆成两项分别积分下载_反常积分的收敛判别法(2024年12月测评)

内容来源：毛坦厂SEO所属栏目：新闻更新日期：2024-12-03

反常积分拆成两项分别积分

森哥模拟卷第二题解析：你做对了几道？大家好，今天我们来聊聊森哥模拟卷第二题，看看你们都做对了几道题吧！第三题：反常积分的敛散性 𐟌€ 这一题主要考察反常积分的敛散性。关键是要将积分区间分成两部分，然后分别讨论不同情况下积分是否收敛。记住，pq的取值很重要哦！第五题：极限的保号性 𐟓‰ 这道题有点定义型的意思，需要你仔细扣住定义和概念。极限的保号性可是个难点，大家一定要多花点时间理解。第七题：线性微分方程的通解 𐟔 这题其实很简单，我当时直接算的ABCD，但后来发现题目中的方法更简单。看来有时候直接算题目中的更方便。第八题：现代公式的灵活运用 𐟧🙧𑻩☧›€要你熟练掌握现代的各种公式，并灵活运用。多做一些类似的题目，你会发现公式其实没那么难记。第十题：通过行变换判断解的个数 𐟔„ 这题通过行变换为最简，然后通过秩来判断解的个数。方法其实很简单，但需要你多练几次才能熟练。第十三题：奇偶性和周期性 𐟌€ 这题考察了奇偶性和周期性的关系，理解起来也不难。只要多做一些类似的题目，很快就能掌握。第十七题：思路难想到 𐟤” 这题的思路真的很难想到吧？我当时也是花了不少时间才搞明白。看来有时候题目就是要考验你的思维深度。第二十题：必要性和充分性 𐟓 这题有点难度，必要性很容易证明，但充分性却不好证。需要你多花点时间和精力去思考。第二十一题：不能相似对角化的情况 𐟧銨🙩☨€ƒ察了不能相似对角化的情况，怎么求可逆的问题。其实方法也不复杂，但需要你多做一些类似的题目才能熟练。总结 𐟓 选填部分真的能学到很多知识，有些题目综合性很强而且很有创新性，不容易想到。希望大家多花点时间和精力去理解和练习这些题目！

定积分及其应用：从基础到进阶 𐟓š 𐟓– 题型五：积分不等式 𐟓Œ 柯西-施瓦茨不等式设 f(x) 和 g(x) 是定义在 [a, b] 上的函数，证明： (∫ f(x)g(x) dx)^2 ≤ (∫ f(x)^2 dx) * (∫ g(x)^2 dx) 𐟓Œ 柯夫斯基不等式设 f(x) 和 g(x) 是定义在 [a, b] 上的函数，证明： ∫ f(x)g(x) dx ≤ ∫ f(x)^2 dx + ∫ g(x)^2 dx 𐟓Œ 证明大小关系设 f(x) 和 g(x) 是定义在 [a, b] 上的函数，比较 f(x) 和 g(x) 的大小。 𐟓– 题型六：反常积分 𐟓Œ 计算反常积分例如：计算 ∫ (x^2 + 1) / (x^2 + x + 1) dx 𐟓Œ 判断收敛性设 f(x) 在 [a, b] 上连续，判断 ∫ f(x) dx 是否收敛。 𐟓Œ 绝对收敛与条件收敛证明：如果 ∫ f(x) dx 绝对收敛，那么 ∫ g(x) dx 也绝对收敛。 𐟓– 题型七：定积分的应用 𐟓Œ 计算面积例如：求由 y = x^2 和 y = x 所围成的图形的面积。 𐟓Œ 计算体积例如：求旋转体 V = ∫ ^2 dx 的体积。 𐟓Œ 计算长度例如：求曲线 y = sinx 在 [0,  上的弧长。 𐟓Œ 压力计算例如：计算一个横放着的圆柱形水桶内水的压力。 𐟓Œ 引力计算例如：计算一个杆对单位质量的吸引力。这些题型涵盖了定积分的基础应用和进阶技巧，通过练习这些题目，你可以更好地掌握定积分的本质和应用。

级数收敛与发散的判断方法 𐟓š 常数项级数的定义与性质常数项级数就是每一项都固定的级数。它的收敛性可以通过一些方法来判断。等比级数如果等比级数的公比q的绝对值小于1，那么这个级数是收敛的。收敛的和可以用公式S_n = a / (1 - q)来计算。正项级数的判敛方法收敛原则：如果级数{S_n}有界（即单调不减且有上界），那么这个级数是收敛的。比较判别法：找另一个级数进行比较，如果从某一项起，这个级数大于等于原级数，那么原级数是收敛的；如果小于原级数，那么原级数是发散的。比较判别法的极限形式：找另一个级数，上下放求极限，如果极限趋于0，那么原级数是收敛的；如果极限趋于无穷，那么原级数是发散的；如果极限等于常数，那么原级数的敛散性不确定。比值判别法：后项比前一项，再求极限，极限小于1，收敛；大于1，发散；等于1，不定。根植判别法：开n次方根，再求极限，极限小于1，收敛，大于1发散。如果开N次方后不求极限直接能看出大于等于1，则一定发散。积分判别法：找一个单调减少的非负连续函数F(x)，使得un = F(n)，做反常积分，与级数同敛散。交错级数莱布尼兹判别法： un的极限趋于0 un单调不增（后项比前项；后项减前项；令为F函数求导）调和级数发散，但交错调和级数收敛。任意项级数加绝对值，用正项级数判敛法则。绝对收敛：加绝对值收敛，级数也收敛。条件收敛：级数收敛，加绝对值发散。幂级数求和un(x - x0)^n形式，和泰勒展开有联系。要求收敛区间和收敛域（用阿贝尔定理）。收敛域的求法：不缺项的幂级数：加绝对值，用比值或根植法，R = 1/p（极限存在），或∞（极限为0），或0（极限不存在）。缺项的幂级数：先加绝对值；再用正项级数比值或根植（要把x^n带上），令p小于1，得到关于X的定义域，即收敛域。 Ps：收敛半径不变，收敛域或因求导缩小；或因积分扩大。幂级数的和函数在收敛条件下，有数乘、倍加等线性性质；整个计算过程记得先标收敛域。计算手段：拆开成两个级数相乘的形式（涉及恒等变形，使两个级数通项幂次数相等、下标相同）。重要展开式

25超越8 数二噩梦般的体验最后做超越八，最后做超越八，最后做超越八！！！！！远离超越八，放到最后一套做吧，这套这难度和计算量真不是人做的，做完感觉是打击信心的卷子，不知道的还以为这是李艳芳三套卷呢，这计算量纯纯逆天，根本答不完，这套用了三个半小时，选填还好，用了一个半小时，这大题用了两个小时，最后写不下去了。多答这半小时基本都花在线代上面了，结果还错了，哈哈第1题就给我难住了，思考了一会应该是把cos从分子提出来然后括号内用f-1等价于lnf化成ln，这么做还是挺简单的第2题求四阶导，一直求第4题把第一个反常积分分部积分，然后用比较审敛法就可以了。第5题最开始没看明白，最后我把x+2y和y/x给换元成uv硬算的，第6题二重积分的积分中值定理或者可以把Fa求出来，这俩结果都是0 第7题画图，或者fx=ex次幂第8题这道题需要用到很多秩的结论，我觉得需要记的就是P列满秩，则PA与A秩相同第9题跟前面几套的一道很像，先把p行列式乘进去，最后再除以p行列式第10题这题真是太有花样了，其实1和4这俩是等价的，把1中余子式都化成代数余子式，发现这些代数余子式在矩阵A里对应的位置是-1 1 -1 1，正好加起来是0，依然满足题目条件的A有0特征值，4条件跟1一样，移项一下就变成1条件了。 11题没啥说的 12题把(x+1)ex次幂看成一个整体直接分部积分。 13题纯计算，恶心人 15题不会，算的根本算不对，看了答案是用了全微分形式不变，这块我没看 16就是把条件都翻译明白就可以了。 17题恶心题来了，反函数求极限这种题下次直接扣我分就好了，何必浪费我20分钟呢 18题这题是给人算的啊，最后那个积分有点难想，上下同除ex次幂，计算量也不小。 19题计算量也大没啥好说的，一算一个不吱声 20题好眼熟，感觉这个凑微分我做过，不记得是哪套卷子上的了。 21题不难，我最开始还构造错了辅助函数，写了半篇都白写了，这题比前面简单多了。 22题把卷子给他撕喽，不做了，不会。强烈建议大家最后做这套，太恶心了！！！不想学数学了，晚上学物理[生气R][生气R]

云南大学数学分析考研大纲详解对于准备考研的同学们来说，考研大纲是备考路上的指路明灯。有了大纲，大家就能更明确自己的复习方向，避免走弯路。为了帮助大家更好地了解云南大学的数学分析考研大纲，我们整理了以下内容，供大家参考。微分学的基本定理及其应用 𐟓– 微分中值定理泰勒公式函数的升降、凸性与极值平面曲线的曲率待定型方程的近似解不定积分 𐟧𘍥篥ˆ†的概念及运算法则不定积分的计算定积分 𐟓 定积分概念定积分存在条件定积分的性质定积分计算定积分的应用和近似计算 𐟌 平面图形面积曲线的弧长体积旋转曲面的面积质心平均值、功数项级数 𐟔⊤𘊦ž限与下极限级数的收敛性及基本性质正项级数任意项级数绝对收敛级和条件收敛级数的性质无穷乘积反常积分 𐟚늦— 穷限的反常积分无界函数的反常积分函数项级数、幂级数 𐟓ˆ 函数项级数的一致收敛性幂级数逼近定理 Fourier级数和Fourier变换 𐟌Š Fourier级数 Fourier变换多元函数的极限与连续 𐟌 平面点集多元函数的极限和连续性偏导数和全微分 𐟔 偏导数和全微分的计算求复合函数偏导数的链式法则由方程（组）所确定的函数的求导法空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线方向导数和梯度泰勒公式极值和条件极值 𐟏† 极值最小二乘法条件极值隐函数存在定理、函数相关 𐟔— 隐函数存在定理函数行列式的性质函数相关含参变量积分 𐟌€ 含参变量的积分的定义含参变量的积分的分析性质：连续性定理、积分次序交换定理与积分号下求导定理含参变量的积分的计算含参变量的反常积分 𐟚능‚变量的反常积分的一致收敛的定义及判别法：Cauchy收敛原理、Weierstrass判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法一致收敛积分的分析性质：连续性定理、积分次序交换定理与积分号下求导定理 Beta函数和Gamma函数积分的定义和性质 𐟓 二重、三重积分、第一类曲线、第一类曲面积分的概念积分的性质重积分的计算及应用 𐟏ž️ 二重积分的计算三重积分的计算积分在物理上的应用反常重积分曲线积分和曲面积分的计算 𐟌 第一类曲线积分的计算第一类曲面积分的计算第二类曲线积分第二类曲面积分各种积分间的联系和场论初步 𐟌 各种积分间的联系格林(Green)公式高斯(Gauss)公式斯托克司(Stokes)公式曲线积分和路径的无关性场论初步希望这些信息能帮助大家更好地备考，祝大家考研顺利！𐟓–✨

合工大2023超越卷(卷4)解题心得分享 T1题真的没想到会用到拉格朗日中值定理，费了好大劲才算出来，真是汗颜啊𐟘…。 T10题的②部分可以再琢磨一下，对于样本量小的数据，计算标准差的期望是可以尝试死算的，说不定下次就是一道填空题。 T14题算出通项公式后，直接求级数结果发散。将通项展开，找到规律，重新写一个通项公式出来，这招挺妙的，不过对我来说有点难想。 T17题是我反常积分部分的一个小漏洞，不过我觉得老师讲的分部积分法有点问题。他课上讲的分部积分法拆开之后，一项发散，则不能这样使用分部积分法，说得太绝对了，也没举过本题这种情况的例子，真是可怜啊𐟘⣀‚ T22题看到就不想写，概率论整两问证明，真是绷不住啊。总的来说，这套卷子比前三套略容易，但一些小地方确实也不太好想到。

396经综数学重点攻略，快来看看吧！嘿，还在死磕数三吗？396经综数学的重点已经为你整理好了！快来看看吧！微积分部分极限的定义和性质：这可是常考内容，主要考察极限是否存在。计算极限：各种求极限的方法，特别是6类未定型极限。连续和间断点：分段函数和无意义点的考察。无穷大无穷小阶数比较：了解不同阶数的比较方法。导数：定义、几何应用、计算（一阶二阶为主，n阶也要掌握），特别是莱布尼茨公式，求高阶导数时会用到。积分：定义、性质、不定积分的计算、定积分的计算、几何应用。多元函数：求偏导（一阶或二阶）、偏导几何应用。数列极限：了解数列极限的概念和计算方法。求旋转体体积：掌握旋转体体积的计算公式和方法。反常积分：反常积分的证明不用看。概率论部分概率计算：基本的概率计算方法。分布函数：了解分布函数的概念和性质。概率密度：掌握概率密度的计算方法。常见分布：了解常见的概率分布类型。二维随机变量分布：基本概念，离散型为主。随机变量函数的分布：了解随机变量函数的分布计算方法。随机变量的数字特征：掌握随机变量的各种数字特征。线性代数部分行列式计算：行列式的计算方法。余子式：概念和计算方法。矩阵：矩阵的计算、矩阵方程、逆矩阵、伴随矩阵。向量线性相关性：了解向量的线性相关性。秩：掌握秩的计算方法。齐次/非齐次方程组的解：了解方程组的解法。极大向量无关组：了解极大向量无关组的概念。同解、公共解：了解同解和公共解的概念。（反）对称矩阵：了解对称矩阵和反对称矩阵的概念。赶紧收藏起来，按照这些重点来复习吧！祝大家考试顺利！𐟓–✨

2022年华中师范大学数学分析试卷解析这份数学分析试卷总体难度适中，但有一道计算题让人有些摸不着头脑，涉及到了beta函数和gamma函数的计算。第一大题：计算题 𐟧쬤𘀥𐏩☯𜚦𑂦ž限这道题可以通过结合等价无穷小和泰勒展开来快速解答。第二小题：二重积分经过变量替换后，这道题变得相对简单。第三小题：曲线积分考察了格林公式的应用。第四小题：曲面积分直接使用高斯公式即可解决。第二大题：证明题 𐟓œ 第一小题：一致连续性通过导数有界结合定义来证明一致连续性。第二小题：分一致连续性利用归结原则的方法举例函数列来证明。第三大题：构造函数求导 𐟓ˆ 通过移项构造函数求导来判断最值，并证明不等式。第四大题：反常积分的敛散性 𐟌 变形后可以通过等价来解决。第五大题：函数项级数的一致连续性 𐟓š 通过和函数收敛来证明，第二小题可以利用第一小题的结果简化。第六大题：含参量反常积分的敛散性 𐟌Š 看到有sin cos时，容易想到狄利克雷判别法。第七大题：黎曼引理的应用 𐟓 第一小题判断被积函数可积后，由黎曼引理可以得到结论。第二小题通过第一小题的结果和已知条件很容易得到结果。

《宇哥八套卷》数学二第八套挑战心得终于搞定了《宇哥八套卷》数学二的第八套，感觉整个人都升华了！𐟒ꊊ𐟕’ 用时：3小时这次考试真是又爱又恨。虽然最后一个大题没做完，但整体感觉还是不错的。特别是填空题，简直让人抓狂！𐟘䠤𝆤𙟦�› 为这些难题，我才学到了不少新知识。总的来说，《宇哥八套卷》的难度确实不小，很多题目都很有挑战性。 𐟓– 选择题小技巧：反向思考，别墅靠大海！𐟏ኊ第三题：举反例是关键。等价不一定等价无穷小，b选项显然正确。对于3的选项，要注意反常积分的敛散性。一个是无穷点，一个是具体研究点。举出反例，比如x-1的平方分之一换元，结果是收敛的；而x的平方分之一在1到无穷大区间内是发散的。所以收敛性未知，否定3。第四个选项显然错误，还可能高阶无穷小。第七题：极坐标系转换是关键。直接将极坐标系转换为r和角度的直接坐标系，最重要的是反解角度。然后先积分角度，积分上下限可以消掉分子，积分过程就变得简单了！第八题：矩阵a的平方，特征值也平方。这个题目直接用了矩阵平方和特征值平方的性质，简直完美！这次考试虽然有些遗憾，但总体来说还是收获满满。希望在接下来的备考中，能继续保持这种状态，顺利上岸！𐟎“𐟒

𐟓 反常积分收敛性判别法笔记 𐟓– 𐟎“ 观看阿赞学长在b站上的视频，对反常积分的收敛性有了更清晰的认识。以下是我总结的一些关键点： 1️⃣ 𐟔 反常积分的收敛性判别，本质上是在比较函数的大小。当函数的积分在某个区间上收敛时，我们可以说这个函数在这个区间上是收敛的。 2️⃣ 𐟓‰ 对于无界区间的反常积分，收敛性取决于函数在无穷大处的行为。如果函数在无穷大处的极限存在且有限，那么这个积分是收敛的。 3️⃣ 𐟌 对于无界数的情况，收敛性同样取决于函数在无穷大处的行为。如果函数在无穷大处的阿阶斯曼诺维奇阶数足够高，那么这个积分是收敛的。 4️⃣ 𐟒ᠤ𘾤𘪤𞋥퐯𜌥𝓸趋近于无穷大时，1/x^2的积分是收敛的，而1/x的积分则是发散的。这说明函数的收敛性与其在无穷大处的行为密切相关。 5️⃣ 𐟔„ 在判断反常积分的收敛性时，我们需要关注函数在特定点或区间上的行为。通过比较函数在这些点或区间上的大小，我们可以得出积分是否收敛的结论。 6️⃣ 𐟓š 最后，需要注意的是，不同类型的反常积分可能需要不同的判别方法。例如，对于p-级数，收敛性取决于p的值。当p>1时，级数是收敛的；当p≤1时，级数是发散的。通过这些总结，我们可以更好地理解和应用反常积分的收敛性判别法。希望这些笔记能帮助你在学习和研究中取得更好的成绩！𐟌Ÿ